無限與無限之間，該選哪條路軌？
這個電車難題惡搞變種，用上了一條奇怪公式「$1+2+3+4+ \cdots=-\frac{1}{12}$」。早兩天寫了篇文章（連結見文末）講述這條公式，在此補回一點細節——但在 Facebook 難以打出數學公式，詳情還是請參考《維基百科》。（按︰搬到 Ghost 後由於支援 MathJax，我把所有公式都打了出來，但還是保留這句。）
這條公式涉及著名的黎曼$\zeta$函數以及稱為「解析拓延」（analytic continuation）的技巧，雖然聽起來嚇人，其實也不是太可怕的數學。
黎曼$\zeta$函數是個複函數，$\zeta (s)$ 可以寫成以下樣子︰
$$ \zeta (s) = \sum_{n=1}^{\infty} n^{-s} = \frac{1}{1^s} + \frac{1}{2^s} + \frac{1}{3^s} + \cdots $$
當$s$的實數部分大於$1$時上述級數才會收斂，其他情況下$\zeta(s)$未有定義。
這個函數是數學界未解難題黎曼猜想（Riemann Hypothesis）的主角，猜想內容如下︰如果 $\zeta(s) = 0$，那麼$s$是負偶數（$-2, -4, -6, \cdots$）或者$s$是個複數，而且其實數部分為$\frac{1}{2}$，黎曼猜想還跟質數分布有關。至於為何在$s$的實數部分小於$1$仍有定義，則跟「解析拓延」這項技巧有關。
解析拓延是複變分析（complex analysis）的技巧，為原本在某些區域沒有定義的複函數「擴展」其定義域。這項技巧只適用於解析函數（analytic function）上，擴展後的函數只有唯一解，即不會有兩種方法擴展其定義域。
如果按 $\zeta(s)$ 的定義，$\zeta(-1)$應該就是$1+2+3+4+\cdots$的值——我之所以用「應該」，正是因為$\zeta$函數本來在-1處沒有定義（$1+2+3+4+\cdots$明顯不會收斂）——然而用上解析拓延後，就可以得出 $\zeta(-1)=-\frac{1}{12}$（嚴格來說，這是個新函數而非原本的ζ函數）。這是數學家會宣稱「$1+2+3+4+ \cdots=-\frac{1}{12}$」的原因。
雖然「$1+1=2$」及「$1+2+3+4+ \cdots=-\frac{1}{12}$」兩條公式同樣用上加號和等號，但這兩個符號在兩條公式中的定義有別，我們的直覺是建立在前一個用法上，自然會覺得後一條公式非常奇怪。
所以認真地說，這張圖片的一大問題在於，「$1+2+3+4+ \cdots=-\frac{1}{12}$」並沒有告訴你「先輾過一個人，再輾過兩個人，再輾過三個人…」（並假設能輾過所有人）後，只會有$-\frac{1}{12}$個死者。
再認真一點的話，另一大問題其實是，我們同樣可以對「$1+1+1+\cdots$」使用同樣技巧，得出$-\frac{1}{2}$這個答案，如果想要殺死較少的人，似乎應該選擇較小的數字，即$-\frac{1}{2}$。
慢着，我們也許應該先弄清楚殺死$-\frac{1}{2}$和$-\frac{1}{12}$個人的意思…
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Kayue
