讀書筆記︰Gödel's Theorem in Focus

Gödel's Theorem in Focus
S.G. Shanker (ed).

講哥德爾不完備定理嘅8篇文合輯，不過只係睇咗7篇，最後一篇係本書編者Shanker寫維根斯坦（Wittgenstein's Remarks on the Significance of Gödel's Theorem），仲要差唔多成百頁，興趣未大到睇埋。不過其他都係好嘢。

第一篇係 John Dawson Jr. 寫哥德爾生平，Dawson係哥德爾傳記 Logical Dilemmas 作者（當時未出書）亦係哥德爾全集編輯之一。

第二篇就係Gödel發表不完備定理篇文，Jean van Heijenoort譯本（Dover有出本書仔係B. Meltzer譯本，但應該而家都係參考van Heijenoort版本多），都係當睇多次（但有個typo，對返其他書應該係呢本排版出錯）。

第三篇係 Stephen Kleene 介紹哥德爾嘅邏輯研究，由早期一階邏邏嘅完備性定理、不完備定理到後啲嘅集合論結果（consistency of CH）都有講，Kleene講自然唔會出事。

第四篇又去返 Dawson 講當時學界對不完備定理接受程度，大致嚟請最受影響嘅 formalist 最接受（雖然 Gödel 最終無畀到第二不完備定理嘅證明，但 Hilbert and Bernays (1939) 寫咗；而早期嘅質疑或反對都有部分係源於未識分清楚object-language & meta-language（畢竟算係新嘢），有啲就似乎係唔明做緊乜（維根斯坦喺呢方面比較出名，所以都有啲興趣想睇最後一篇有無得幫佢兜返，但真係太長）。

第五篇係 Solomon Feferman 分析哥德爾早期論文點解無乜透露佢嘅柏拉圖主義立場（佢好早已經係 platonist），入面講到佢證不完備定理時其實已經知道 undefinability of truth，不過為咗避免引起哲學爭議所以無講到，淨係 focus 喺 demonstrability 度。

第六同七篇係 Michael Resnik 同 Michael Detlefsen 講第二不完備定理（G2）嘅 implication（特別係對形式主義而言），前者 argue 常見話 G2 implies 無得喺個形式系統入面證明自身一致性唔準確（取決於點樣定義 Con 呢句嘢），但認為證明到嘅都係 "pathological"，如果要證明 "non-pathological consistency" 就需要系統入面無嘅方法（諗到個例子係 Gentzen's proof 用 induction up to ε0）；後者就質疑後面呢個講法，認為無根據，亦話 G2 隊冧 Hilbert's programme 個講法源自無為意 G2 用嘅邏輯唔係 the logic of the finitstic proof theory of it，不過佢無解釋得好清楚，後記有回應 Craig Smorynski 嘅批評（但無收到 Smorynski 篇文）。

其實呢兩篇我覺得比較 technical，不過頭五篇了解不完備定理同相關背景嚟講幾好，適合睇完 Raymond Smullyan 或 Peter Smith 關於不完備定理比較深入嘅介紹後再睇（鍾意 Smullyan 個 presentation，學嘢嚟講 Smith 嗰書比較好，但都要提埋 Peter Smith 2012年被判下載兒童色情品罪成）。

近一兩年都幾多關於 Gödel 嘅書，關於不完備定理嘅包括 Juliette Kennedy 本 Gödel's Incompleteness Theorems、Carlo Cellucci 本 The Theory of Gödel、Hal Prince 本 The Annotated Gödel 仲有本 A Very Short Introduction，另外仲有兩本傳記，未得閒睇。