一個跟「2+2=5」有關的邏輯故事

看到區家麟寫〈沒有三權分立，因為2+2=5〉，只看文章標題已經想起一個相信所有讀邏輯的學生都聽過的故事︰

據說羅素（Bertrand Russell）有次在講座中介紹邏輯學中的「爆炸原理」（principle of explosion）——「只要有一個矛盾句可以推論出任何命題」（像邏輯版的「給我一個支點」）——當場受到學生挑戰，要求他從「2+2=5」推論出「羅素就是教宗」。

羅素的推論如下︰2+2=5，兩邊減去2得出2=3，兩邊再減去1可得2=1，兩個人等如一個人，所以羅素和教宗就是一個人。

用類似方式，也可以「證明」3=1。（加上引號，因為實際上只要「爆炸原理」成立，「2+2=5」就可蘊涵「羅素是教宗」，上述推論的作用僅為讓人較易接受，真要證明的話可以用disjunction introduction，有興趣的讀者可參考《維基百科》的證明。）

當我想寫這個故事的時候，就想找回出處，畢竟這些故事往往是軼聞，羅素未必真的說過，但找到誰最先說也好。在Google找了一會（我懶得翻書）沒有結果，大家都像常識一般講這故事，沒有人引用任何出處。（按︰見後記。）

我反而找到一篇提到數學家哈地（G. H. Hardy）的文章有類似內容。著名統計學家費雪（Ronald Fisher）在〈The Nature of Probability〉提到一個從劍橋大學三一學院高桌晚宴傳出來的故事︰哈地當時正提及「爆炸原理」，有人問他︰「你是否指如果我說二加二等於五，你就能證明任何命題？」哈地表示同意，對方就說︰「那麼證明麥塔格（McTaggart）就是教宗吧。」哈地先推論出4=5，再得出2=1，然後「證明」了麥塔格和教宗是同一個人。（Fisher, R. A., 1958 The nature of probability. Centen. Rev. 2: 261–274.）

我不肯定這是否羅素那個軼聞的源頭，他跟哈地是朋友而且曾同期在三一學院共事，到底誰先提出這個「證明」也許難以考證，有興趣的讀者如有任何發現，歡迎告知。（順帶一提，故事中的麥塔格我猜是〈The Unreality of Time〉的作者 J. M. E. McTaggart，那個時期他亦在三一學院。）

最後必須指出「爆炸原理」並非在所有邏輯系統中都成立，例如paraconsistent logics（我未想到用哪個譯名好，先用英文）中就不成立，以容許部分矛盾句在系統中存在。但我不太熟悉這題目，大家最好去看紫煙亭。

後記

原來紫煙亭寫過W. D. Hart在《Evolution of Logic》提到羅素的故事（不過Hart也不確定這是真的，“but one should never let truth
spoil a good story”）︰羅素1914年在波士頓提到所有前提為假的質料條件句都是真的（“all conditionals with false antecedents are true”），被問到他是否真的認為「如果一加一等於一，那麼羅素是教宗」。羅素以集合論回應。

（原刊於Medium）