如何知道數學無矛盾？
《關鍵評論網》台灣那邊刊登了一篇奇怪的書摘文章[1]，更提及哥德爾（Kurt Gödel）的不完備性定理，要不是讀到那篇文章我也不打算寫這個題目，因為太過專門。
不過這定理的確經常被誤解及濫用（即使及不上量子力學），所以我也寫了一篇文章，嘗試講解那篇文章錯了甚麼，順便粗略介紹了希爾伯特計劃，受時間及篇幅所限，恐怕也不算太容易明白，至少我已經努力不用符號解釋，希望未至於太趕客（連結見文末）。
此處多談一點關於這定理和數學有沒有矛盾的問題（下文中「一致」的意思是「無矛盾」）。
不完備性定理是二十世紀初數理邏輯發展的重要里程碑，其實有共兩條——第一及第二——不完備性定理。第一條說的是滿足某些條件（例如可證明某些算術定理以及一致）的形式系統——此處就叫它做$S$——中，必然存在$S$無法證明或否證的「不可判定命題」。
由於哥德爾採用其著名的編碼策略，能夠把相關的形式系統、邏輯公理等以數字表達，即可在$S$中表達、證明關於$S$的後設定理，當中包括第一不完備性定理。這就可以推論出第二不完備性定理，通常被理解成「假設算術系統一致，它無法證明自身一致」。
今年初辭世的邏輯學家史幕揚（Raymond Smullyan）在他撰寫的《哥德爾不完備性定理》中提到，不少「明顯不了解狀況」的作者就第二不完備性定理撰寫了大量「普及廢話」，因此可以讀到一些「不負責任的言論」如︰「根據哥德爾第二定理，我們永遠不知道算術是否一致」。對此說法他的反應如下（本人翻譯，粗體為本人所加）︰
垃圾！要了解這是何等愚蠢，不妨假設句子「consis」（譯按︰代表「“0=1”不可證」的公式）可以在皮亞諾算術（Peano Arithmetic）中證明 — — 或者更現實的，假設我們考慮一個能證明自身一致的系統。這是否相信該系統一致的證據？當然不！假如該系統有矛盾，它就能證明任何句子 — — 包括自身的一致性。基於一個系統能證明自身一致來相信其一致性，就像基於一個人宣稱不說謊來相信他誠實一樣愚蠢。不，皮亞諾算術（假設一致）無法證明其一致性這件事，並不構成質疑其一致性的合理理由。[2]
簡言之，在算術系統中無法證明該系統一致，不代表無合理理由相信算術系統一致——雖然我認為數學家永遠無法確定此事。
那數學家、邏輯學家和哲學家要如何相信算術以至數學一致？老實說，我認為最好的原因是︰「用了這些系統那麼多年都沒有人發現矛盾」。
第三次數學危機源自一些悖論證明樸素集合論（naive set theory）隱含矛盾，後來發展出哲美羅－費蘭高集合論（Zermelo-Fraenkel set theory），加上選擇公理（axiom of choice）成為現時主流的ZFC集合論。ZFC的公理經過小心設計，避開了樸素集合論中的悖論，不過誰也無法保證它不含矛盾。
就算是較為簡單的一階皮亞諾算術，其歸納公理也會受到質疑——這不是一條公理，而是一個公理模式（axiom schema）︰對於每條符合若干條件的一階邏輯公式，都有一條相應的歸納公理。但這些邏輯公式有無限多條，誰能保證一些非常複雜（例如需要數千萬億個符號）的公式不會產生矛盾？這個質疑同相適用於集合論的替換公理模式（axiom schema of replacement）。
當然，絕大多數的數學家都不會質疑這些數學系統隱含矛盾，但也不是沒有人會這樣做。已故普林斯頓大學數學教授尼爾遜（Edward Nelson）在2011年9月宣布，他發現皮亞諾算術不一致，不過很快就被數學家陶哲軒指出錯誤，尼爾遜其後撤回宣稱。[3]
另外，邏輯學家根臣（Gerhard Gentzen）早於1936年已證明了一階皮亞諾算術的一致性，不過他未有推翻哥德爾的結果，因為他使用另一個系統去證明，這個系統不比皮亞諾算術強也不比它弱。問題仍然是，你是否相信他那個系統一致？[4]
Smullyan, R., 1992, Gödel’s Incompleteness Theorems, Oxford: Oxford University Press, p.109. ↩︎
Here we go again: “PA is inconsistent” (Edward Nelson) (M-Phi) ↩︎
這不代表根臣的一致性證明沒有意思，相反那是證明論（Proof theory）中的重要結果。 ↩︎
延伸閱讀
Kayue
Kayue
（原文見Medium）
