讀書筆記：Foundations without Foundationalism

Foundations without Foundationalism: A Case for Second-order Logic
Stewart Shapiro

本書主要想講嘅係「一階邏輯太弱，大家可以用二階邏輯」，或者有時採取比較弱嘅立場就係「大家唔好淨係用一階邏輯啦，二階邏輯都好好」，所以數學基礎嘅研究唔需要淨係得一個基礎（作者稱之為 Foudnations without Foundationalism）。

一階邏輯同二階邏輯最大分別，在於二階邏輯可以 quantify over properties，變相可以講到集合（高階邏輯就可以講到集合嘅集合、集合嘅集合嘅集合…但利用一啲技巧可以用二階邏輯去做到類似嘅事），表達到嘅嘢多咗，但就無咗完備性之類嘅特性。

另一方面，多得 Löwenheim-Skolem 定理，一階嘅算術、實數理論都會出現非標準模型，例如算術（講自然數同加法乘法）會出現不可數嘅模型，實數甚至集合論都會有可數嘅模型。