奇書面世40年︰《Gödel, Escher, Bach》的知識漫遊

1979年4月，《哥德爾、艾雪、巴哈︰一條永恆的金帶》（Gödel, Escher, Bach: An Eternal Golden Braid，下文簡稱《GEB》）^[註] 橫空出世，這是作者侯世達（Douglas Hofstadter）首本著作，也是他的成名作。此書所涉獵題材之廣、以虛構人物對話穿插的寫作手法，堪稱一部奇書。

書名是三位人物︰

• 哥德爾（Kurt Gödel, 1906–1978） — — 邏輯學家，20世紀初數理邏輯發展重要推手之一，除了以他命名的「哥德爾不完備定理」（Gödel’s incompleteness theorems）外，他對數理邏輯多個領域亦有貢獻。（按︰哥德爾不完備定理在本文多次出現，為方便起見，或會略稱為「哥德爾定理」或「不完備定理」。）
• 艾雪（Maurits Cornelis Escher, 1898–1972） — — 藝術家，擅長版畫，內容以密鋪平面圖案、不可能存在的物件／畫面及數學主題見稱，作品自成一格，廣受數學家歡迎。
• 巴哈（Johann Sebastian Bach, 1685–1750） — — 巴洛克時期作曲家，作品繁多，種類廣泛，結構複雜嚴謹，音樂史上最重要作曲家之一。

然而正如侯世達在此書20周年紀念版的序言所指出（或抱怨），《GEB》經常引起各種誤解，例如以為此書介紹哥德爾、艾雪及巴哈三人，或者說明數學、藝術及音樂之間的關聯等。他在該篇序言試圖說明這本書的主旨（翻譯粗疏，請參考附上之原文）︰

用一句話說，《GEB》是旨在解釋為何「具生命的個體會由無生命的物質產生」一次非常個人的嘗試。甚麼是「自我」，以及為何「自我」能從像一塊石頭、一灘水般毫無自我意識的東西中產生？

(In a word, GEB is a very personal attempt to say how it is that animate beings can come out of inanimate matter. What is a self, and how can a self come out of stuff that is as selfless as a stone or a puddle?)

侯世達在其「個人嘗試」中，透過777頁篇幅橫跨了多個領域的內容，包括數理邏輯的形式系統、非歐幾何歷史、語法結構、費曼圖（Feynman diagram）、程式語言、人工智能、大腦、遺傳密碼等等，而貫穿全書的主題則是遞歸（recursion）結構、自我指涉（self-referential）以及「怪圈」（strange loop）——他在書中定義、不斷「向上」後會回到原處的層級結構。

據侯世達的自述，他最初沒想到要寫一本這麼厚的書，只想寫一封信。

早於青少年時期，侯世達讀到科學哲學家內格爾（Ernest Nagel）及數學家紐曼（James R. Newman）合著的小書《哥德爾的證明》（Gödel’s Proof），燃起他對符號邏輯的興趣。其後他在史丹福大學讀數學，更進了加州大學柏克萊分校的研究院讀數學（該校是邏輯學研究的重鎮），修了幾個高等邏輯課程，但對於技術性的內容不感興趣甚至覺得失望，令他失去熱情，最終退學，改到俄勒岡大學讀物理 — — 順帶一提，侯世達父親（Robert Hofstadter）是1961年諾貝爾物理學獎得主之一。

幾年後他在大學書店中見到哲學家德隆（Howard DeLong）所寫的《數理邏輯概貌》（A Profile of Mathematical Logic），讀後重燃他對哥德爾定理的熱情。那時侯世達對自己的物理學研究及人生路向感到迷茫，同年7月決定駕車穿州過省尋找新生活。駛到愛達荷州的時候，他的汽車引擎需要維修，等待期間他去了愛達荷大學圖書館，尋找德隆那本書的文獻目錄中跟哥德爾證明有關的文章，並影印了其中幾篇，每晚睡前閱讀。

幾日後一個下午，侯世達心血來潮想寫封信給老朋友波寧格（Robert Boeninger），幾小時後他發現，雖然已經寫了約三十頁，但這僅是他想說的內容的一半，於是他覺得應該寫本小冊子（而波寧格最終沒有收到這封信）。

在紐約留了一陣子後，侯世達回到俄勒岡大學完成學業，他開了一門討論哥德爾定理的課，學生來自不同學系，包括藝術史、政治科學和藝術等。1973年的秋天，侯世達嘗試繼續寫他的「小冊子」 — — 當時暫訂的標題為《哥德爾定理與人腦》（Gödel’s Theorem and the Human Brain），艾雪及巴哈尚未出現。他花了一個月寫完初稿，那時候他以為已經完成大部分工作。

直到某天，他突然靈感湧現，以對話形式寫了一個故事。故事關於一本無比龐大的書，書中描述了愛因斯坦（Albert Einstein）大腦每個神經元的資訊。其中一部分對話是兩個角色互相猜想對方會說的話，寫完這一段後他突然想到賦格曲（Fugue），巴哈於此刻開始進入《GEB》。這段對話最終沒在《GEB》出現，但收錄於侯世達及哲學家丹尼特（Daniel Dennett）合編的《心我論》（The Mind’s I）之中。

1974年侯世達換了第四次（也是最後一次）博士論文指導導師，他知道如果想取得博士學位，他必須在那時候全心全意做研究，直到1975年底完成博士論文前，他都禁止自己接觸《GEB》的手稿。在寫完論文後，他認為自己無法成為優秀的物理學家，在父母的經濟支持下，他回到史丹福嘗試用兩年時間轉向研究人工智能，同時完成那本「小冊子」。在這個階段，《GEB》的結構才開始成形。

《GEB》全書由內文、封面以至排版均由侯世達一手包辦，不少插圖也岀自他手筆。就在他重寫自己的「小冊子」的時候，已開始使用友人開發的早期文字處理程式TV-Edit寫作。他獲得Basic Books同意岀版後，需要把電腦印出來的草稿排好版，再拿去印刷。他使用友人的排版軟件輸出檔案 — — 注意那是1978年，檔案以打孔的紙帶儲存 — — 走到另一大樓的打孔機處取得檔案，再借用《史丹福日報》（The Stanford Daily）的照相排版機處理。

到侯世達幾乎完成的時候，才發現機器的問題使他前功盡廢，但當時暑假即將完結，開學後他需要到印第安納大學授課。幸好當時他的課堂都在星期二至星期四，所以他每個星期四下午都搭飛機去史丹福，排版至星期一下午回印第安納。這次意外令侯世達須額外花大量時間金錢重新排版，也令《GEB》面世時間推遲幾個月，但至少讓他可修改原稿中的錯誤。

《GEB》有趣之處不單在於涉獵廣泛，其寫作方式也獨樹一幟。全書共20章，幾乎每章之間均穿插一段侯世達虛構的對話，內容或多或少都跟其後一章有關。

對話主要角色為阿基里斯（Achilles，希臘神話中的英雄）及烏龜 — — 在著名的芝諾悖論（Zeno’s paradox）中，古希臘哲學家芝諾（Zeno of Elea）嘗試「論證」阿基里斯永遠追不上跑得較慢的烏龜；1895年，《愛麗絲夢遊仙境作者》兼邏輯學家卡羅（Lewis Carroll）在哲學期刊《心靈》（Mind）發表了一篇題為〈烏龜跟阿基里斯說了甚麼〉（What the Tortoise Said to Achilles）的重要論文，透過虛構兩個角色的對話探討一個邏輯哲學問題；侯世達正是借用了卡羅設計的兩個角色，更把該論文用作書中第二段對話（雖然在首段對話中，烏龜向阿基里斯表示「我們是芝諾的發明」）。

當中有些對話章節的形式及標題均參考了巴哈的樂曲，如〈逆行卡農〉（Crab Canon，其中一個角色正是螃蟹）及〈六聲部里切爾卡〉（Six-Part Ricecar），對話內容更不乏大量文字遊戲，例如使用諧音、縮寫等，可謂彩蛋處處（順帶一提，史上首隻彩蛋源於電子遊戲《Adventure》，同樣是1979年前推出）。其中一個我第一次讀的時候未有留意、最近重讀才發現的文字遊戲，是在書中首段對話之中，阿基里斯記錯芝諾是禪宗大師，更說了「風動幡動」的公案，被烏龜更正後阿基里斯說他一直記得「六祖是芝諾」 — — 我今次查了六祖惠能的英文譯名，才發現透過日語轉譯的話是跟「Zeno」相似的「Enō」（另外「Zen」跟「Zeno」亦只有一字母之差）。

由於對話透過故事引介其後章節的內容，侯世達用上大量類比，讓讀者先從對話中掌握一些重點。例如在討論著名的哥德爾不完備定理（不明白這是甚麼並不要緊）之前，侯世達安排烏龜向阿基里斯講述一個故事︰

螃蟹喜歡各種機器，某天買了一部唱片機（應是黑膠唱片 — — CD要到1982年才推出市場），宣稱那是能夠重現任何聲音的「完美唱片機」。烏龜為了說服螃蟹沒有這種機器，刻意灌錄了一張無法在那唱片機播出的唱片 — — 唱片播放期間會破壞唱片機。不服氣的螃蟹於是再買一部唱片機，但又被烏龜送來的唱片破壞。這樣來回幾次，每次螃蟹買新唱片機後，烏龜都會按照其唱片機的設計灌錄一張唱片，成功破壞唱片機。最後螃蟹設計了一部「終極唱片機」…

侯世達以螃蟹的「唱片機」比喻算術系統，而烏龜的唱片則是「哥德爾句」G — — 在系統中無法證明又無法否證的公式 — — 讓讀者掌握哥德爾不完備定理的內容。當然，比喻不能代替技術細節，侯世達在書中頗為詳細解釋甚麼是形式系統，並逐步建立算術（包括自然數、加法及乘法）的形式系統，示範如何在這個系統中證明定理，最後解釋如何證明哥德爾不完備定理。對於沒有數學根基的讀者而言，我猜侯世達已經解釋得非常清楚。

《GEB》沒有提供哥德爾不完備定理的完整證明，因為當中包括不少繁瑣細節，然而要大概掌握證明方法不算困難。侯世達之所有花如此多篇幅解釋這個證明，主要是哥德爾證明的核心有個概念上非常巧妙的想法︰把算術系統的符號編碼，將系統中的語句變成數字。由於系統本身處理的對象正是數字，經過編碼後這個系統能夠迂迴地自我指涉，可說是打通了「數學」及「後設數學」兩個層次。（技術上有一些限制，但並非侯世達要處理的重點。）

哥德爾定理是數理邏輯史上一個頗為令人意外的結果，描述了數學系統在證明方面的限制，不少人會因為此定理的名字和內容而望文生義，因此不完備定理經常遭曲解、濫用及錯誤引伸至不適用的領域。關於這一點，讀者不妨參考數學家費蘭辛（Torkel Franzén）所著的《哥德爾定理︰使用與濫用的不完整指南》（Gödel’s Theorem: An Incomplete Guide to Its Use and Abuse）中有大量例子——書中唯一提及《GEB》之處，是在討論「根據哥德爾定理，我們不可能了解自己的心靈」這類說法時，作者指出侯世達有類似段落（在《GEB》第697頁），但他明確指出是以不完備定理作為類比，而非借題發揮。

不完備定理及其證明也是「可計算性理論」（computability theory）發展的基石之一，可計算性理論又稱「遞歸論」（recursion theory），是現代電腦科學的源頭。哥德爾發表證明後不久，圖靈（Alan Turing）提出「圖靈機」（Turing machine）的概念，為「演算法」（algorithm）此概念提供廣為接受的嚴格形式定義，以及證明了「通用圖靈機」（universal Turing machine）存在，為電腦的出現奠定理論基礎。正因如此，《GEB》有若干介紹電腦架構、程序語言等的段落，40年前電腦尚未普及，讀者未必接觸過電腦，閱讀經驗恐怕相當不同（可惜我無法想像）。

侯世達亦在《GEB》第13章設計了兩種簡單的程式語言Bloop及Floop來說明「原始遞歸函數」（primitive recursive function）及「遞歸函數」（recursive function）的分別。這一章之前的對話中，烏龜告訴阿基里斯一位作者希望寫一段要讀者搜尋結尾的對話——意思是，故事結束後仍會有一段看似相關、實質無關的文字，需要讀者自行判斷在何處結束——這個想法剛好對應之後那章的內容（Bloop和Floop之間的分別），而這段對話的形式更配合內容，在結束後又「延續」了一小段。（閱讀時發現這個關聯是令人滿足的經驗。）

《GEB》探討意識如何從大腦中產生，又觸及數學、電腦等問題，少不免花點章節介紹當時的人工智能進展。在第19章最後，侯世達提出了10條關於人工智能的問題及推測——他認為那只是個人見解，故不稱之為「答案」。撇除了錯誤預測「未來不會有能勝過所有人的象棋程式」外，他在《GEB》20周年版的序言中表示，那幾頁的預測是他仍然抱持的哲學信念。

雖說已經是20年前的事，但按照《大西洋》（The Atlantic）於2013年的訪問，侯世達對人工智能領域的看法恐怕沒有太大改變——他跟主流的研究早已分道揚鑣，他的興趣始終是研究並了解人類心智及思考，而學界主流則著手建立實用的系統，嘗試逐點解決較簡單的問題（當然現在人工智能可解決的問題也不簡單，這只是相對於侯世達的目標而言）。另一篇侯世達去年批評Google翻譯的文章同樣可見到這個分歧。

侯世達跟他的研究小組在1995年曾出版《流體概念與創意類比︰思想基本機制的電腦模型》（Fluid Concepts and Creative Analogies: Computer Models of the Fundamental Mechanisms of Thought），透過類比去探討「智能」這回事，不過我未讀過這本書，而且對人工智能發展未夠了解，無法評價侯世達的研究方向。（順帶一提，這是Amazon上最早售出的書。）

雖然侯世達抱怨不少讀者誤解《GEB》要旨，但我認為這實在怪不了讀者。畢竟全書厚達777頁，我曾經跟幾位前同事辦讀書組，好像只讀到一百多頁（那時侯我也說不上多了解書中內容，不過總在東拉西扯——特別是講數學的時候），如果本身對數學、邏輯認識不深又興趣不大的話，的確可能在閱讀初段已被符號嚇怕。即使能夠讀到大半本，中途總會有覺得較為沈悶的章節，而且除非閱讀神速又記憶力驚人（或者有時間空閒做筆記），否則難以記住那麼豐富的內容。讀到最後，忘記了較早章節的部分內容實屬正常。

讀完《GEB》本身已經是個挑戰，能夠好好把握侯世達的想法更難。何況很多紅極一時的著作都是談的人多讀的人少，只靠書皮學自然額外產生大量誤讀。這一點，我猜侯世達也很了解。

侯世達在2007年出版的《我是個怪圈》（I Am a Strange Loop）同樣探討自我、意識如何形成等問題，討論哲學問題同時滲入不少個人經歷，可視為《GEB》面世近30年後之續作，而且方向較明確、更易明白——侯世達書寫《我是個怪圈》的時候，經驗遠比他寫《GEB》時豐富——還有就是沒那麼厚（全書共412頁）。假如未能讀完《GEB》，不妨嘗試讀風格有別的《我是個怪圈》；但讀過了《GEB》再讀後者，相信都不會失望。

反過來說，這是否代表只讀《我是個怪圈》就夠呢？又顯然不是，兩本書差異太大，閱讀《GEB》時跟隨阿基里斯和烏龜等角色在不同知識領域遊蕩、探索的經驗實在難以替代，能夠接觸一本這樣的奇書，何其有幸。

註︰商務印書館在1996年曾出版簡體中文譯本，書名為《哥德爾、埃舍爾、巴赫：集異璧之大成》，其中「集異璧」乃「GEB」的諧音。本文所有書名以英文為準，部分中文書名是我翻譯，有些則是參考現有譯本，但建議讀原文。

後記︰本來應在4月寫完此文，可是我在重讀完《GEB》後又重讀《我是個怪圈》，另外受拖延症及一些意外的事情影響，延至5月才寫完。但根據《GEB》中的「侯世達定律」（Hofstadter’s law）︰

永遠需要比你所預計更長的時間 — — 即使已考慮到侯世達定律。

遲了點完成也很合理吧。

（原文刊於Medium）