填色問題的上／下限與有／無限
數學家 Edward Nelson 仍是大學生的時候，想到以下問題︰如果要把平面填滿顏色，同時沒有相距一個單位（甚麼單位不重要）的兩點有相同顏色的話，最少要多少種顏色？
在提出這問題不久後，Nelson 及其友人已知道這個數字——稱為「平面色數」（chromatic number of the plane, CNP）——範圍在4至7之間（填滿一個圖所需的最少顏色數目，稱為該圖的「色數」）。六十多年來，雖然問題獲數學界關注，但答案仍然未有進展。
這個問題亦可以圖論語言表達︰若G是一個任意的無限等距圖——即所有相鄰（由同一條邊連接）的頂點相距剛好是一個單位（也可理解為這個圖由長度為一單位的邊組成）——要把G的頂點填色，並確保相鄰兩點不同色，最少要多少顏色？
直到今年4月，一位業餘數學家 Aubrey de Grey 構造了一個須用最少5種顏色填滿的等距圖，帶來突破。關於為何答案要在4至7之間、de Grey 的構作方式等內容，可參考我寫的文章︰
Kayue
此處我想討論這個問題中無限和有限之間的關係。
Nelson 問題涉及無限等距圖，要提升 CNP 下限，只需要構作需要更多顏色來填滿頂點的有限等距圖（例如 de Grey 的圖需要5種顏色），因為我們能夠把有限等距圖擴展成無限等距圖。
假設有數學家構造出需要色數為7的等距圖，那就一切好辦，我們知道 CNP = 7。萬一 CNP 原來是 5/6 的話，數學界需要把 CNP 上限降低，這就沒那麼容易了。現時 CNP 的上限源自下圖（證明詳見上述連結）︰
一個用6種顏色便可填滿平面的圖案，能夠把 CNP 下限降低（如果是5種的話更能直接解決問題），不過既然那麼多年來都沒有人想到，我猜並不容易。
另一個問題是，無限和有限之間會不會隔着一道鴻溝，以致——比方說——所有有限等距圖都只需要5種顏色來填滿，而有些無限等距圖卻需要6種？
Nicolaas Govert de Bruijn 及 Paul Erdős 在 1951 年證明的定理告訴我們不會如此。這條定理說的是，假如一個無限圖可以用有限種顏色填滿，其色數就等如該圖的有限子圖（subgraph）的色數中最大那個數字。
由於 CNP 上限是7，肯定是個有限數字，De Bruijn–Erdős 定理確保了，萬一 CNP=6 的話，必然存在一個色數為6的有限等距圖——能不能找到是另一回事。
然而這條定理需要用到選擇公理（axiom of choice）去證明，在選擇公理不成立的集合論模型中，有限等距圖和無限等距圖之間還是有可能存在那道鴻溝。
我想以一個令我大開眼界的發現作結。在寫 de Grey 那宗新聞時，我讀了一點 Alexander Soifer 的 The Mathematical Coloring Book。在寫這篇文時又讀多一點，發現 Soifer 跟集合論專家 Saharon Shelah 在 2003年證明了，存在一個（頗簡單的）圖G，其色數在選擇公理成立的 ZFC 內為2，而在選擇公理不成立——但可數版本的選擇公理成立，以及所有實數集 Lebesgue 可測 ——的 ZF 集合論中卻不可數︰
